去年 11 月，在经历了十年的失败尝试之后，自称是英格兰东约克郡布里德灵顿的形状爱好者的大卫史密斯怀疑他可能最终解决了瓷砖数学中的一个开放问题：也就是说，他认为他可能发现了一个“爱因斯坦”。
用不太诗意的术语来说，爱因斯坦是一种“非周期性单片”，一种平铺平面或无限二维平面的形状，但只是以非重复模式。 （术语“爱因斯坦”来自德语“ein stein”或“one stone”——更宽泛地说，“one tile”或“one shape”。）典型的墙纸或瓷砖地板是周期性重复的无限图案的一部分; 当移动或“翻译”时，图案可以准确地叠加在自身上。 非周期性平铺没有显示出这种“平移对称性”，数学家长期以来一直在寻找一种可以以这种方式平铺平面的单一形状。 这被称为爱因斯坦问题。
“我总是 乱搞和试验 64 岁的史密斯先生说，他做过印刷技术员等其他工作，很早就退休了。 他说，虽然他在高中时喜欢数学，但并不擅长。 但他长期以来一直对爱因斯坦问题“着迷”。
现在一个 新文章 – 由史密斯先生和三位具有数学和计算专业知识的合著者共同撰写 – 证明了史密斯先生的发现是正确的。 研究人员称他们的爱因斯坦为“帽子”，因为它类似于软呢帽。 （史密斯先生经常在头上系一条大手帕。）这篇论文还没有经过同行评审。
“这似乎是一个了不起的发现！” 杜克大学的物理学家约书亚·索科拉尔 (Joshua Socolar) 在一封电子邮件中说，他阅读了《纽约时报》提供的这篇论文的早期副本。 “对我来说最重要的方面是瓷砖显然不属于我们所理解的任何熟悉的结构类别。”
“数学结果回避了一些有趣的物理问题，”他补充道。 “人们可以想象遇到或制造具有这种内部结构的材料。” Socolar 博士和塔斯马尼亚伯尼的独立研究员 Joan Taylor 此前发现了一种 六角单片 由不连贯的部分组成，根据一些人的说法，这扩大了规则。 （他们还发现了 Socolar-Taylor 磁贴的连接 3-D 版本。）
他指出，除了熟悉的周期性棋盘格图案外，黑白方块还可以形成奇怪的非周期性图案。 “能够做出奇怪而有趣的图案真的很简单，”他说。 两个彭罗斯瓷砖的神奇之处在于它们只能形成非周期性图案——这就是它们所能做的。
“但是圣杯是，你能用一个——一块瓷砖吗？” Goodman-Strauss 博士说。
就在几年前，罗杰爵士还在寻找爱因斯坦，但他搁置了这一探索。 “我把数量减少到两个，现在我们把它减少到一个！” 他说到帽子。 “这是一场绝技。 我认为没有理由不相信它。”
该论文提供了两个证明，均由英国剑桥的合著者兼软件开发人员 Joseph Myers 执行。 一个是传统证明，基于以前的方法，加上自定义代码； 另一个部署了由迈尔斯博士设计的新技术，而不是计算机辅助技术。
罗杰爵士发现证明“非常复杂”。 尽管如此，他还是对爱因斯坦“非常感兴趣”，他说：“这是一个非常好的形状，非常简单。”
富有想象力的修补
简单是诚实的。 史密斯先生的调查主要是手工进行的； 他的一位合著者称他为“富有想象力的修补匠”。
首先，他会在电脑屏幕上“摆弄” PolyForm 解谜器，由 Jaap Scherphuis 开发的软件，a 瓷砖爱好者 和荷兰代尔夫特的拼图理论家。 但如果形状有潜力，史密斯先生会使用 Silhouette 切割机从卡片纸上生产出第一批 32 份副本。 然后他会把瓷砖拼在一起，没有缝隙或重叠，就像拼图一样，根据需要反射和旋转瓷砖。
“亲身体验总是好的，”史密斯先生说。 “它可以很沉思。 它可以更好地理解形状如何镶嵌或不镶嵌。”
卡普兰博士说，第一步是“定义一组四个‘元元素’，这些简单的形状代表一顶、两顶或四顶帽子的小组。” metatiles 组合成四个更大的形状，它们的行为相似。 本届大会，从 元组到超组到超级组，无穷无尽，用帽子的副本覆盖“越来越大的数学’地板’，”卡普兰博士说。 “然后我们表明，这种分层组装本质上是用帽子平铺平面的唯一方法，事实证明这足以表明它永远不会定期平铺。”
“这非常聪明，”马萨诸塞州列克星敦的一名退休电气工程师伯杰博士在接受采访时说。 冒着看起来挑剔的风险，他指出，由于帽子拼贴使用反射——帽子形拼贴及其镜像——有些人可能想知道这是否是两拼贴而不是单拼贴的一组非周期性单拼贴。
Goodman-Strauss 博士在一个平铺列表服务上提出了这个微妙的问题：“有没有一顶帽子或两顶帽子？” 共识是，即使使用其反射，单片也算作单片。 Berger 博士说，这留下了一个悬而未决的问题：是否有一个爱因斯坦会不加思索地完成这项工作？
隐藏在六边形中
卡普兰博士澄清说，“帽子”并不是一项新的几何发明。 它是一个 聚风筝 – 它由八只风筝组成。 （拿一个六边形画三条线，将每边的中心连接到对边的中心；产生的六个形状是风筝。）
“很可能其他人过去曾考虑过这种帽子形状，只是没有在他们着手研究其平铺特性的背景下，”卡普兰博士说。 “我喜欢认为它隐藏在众目睽睽之下。”
史密斯学院的数学家 Marjorie Senechal 说，“从某种意义上说，它一直坐在那里，等待有人找到它。” Senechal 博士的研究探索了邻近的领域 数学晶体学以及与 准晶体.
摩拉维亚大学的数学家多丽丝·沙特施奈德说：“最让我印象深刻的是，这种非周期性的拼贴被放置在六边形网格上，它的周期性几乎是你所能得到的。” 周期性铺砖的数学分析，尤其是荷兰艺术家 MC Escher 的作品。
Senechal 博士同意了。 “它正好位于六边形中，”她说。 “全世界有多少人会想知道，为什么我没看到呢？”
爱因斯坦一家
令人难以置信的是，史密斯先生后来发现了第二个爱因斯坦。 他称它为“乌龟”——一种由 10 个而不是 8 个风筝组成的复合风筝。卡普兰博士说，它“不可思议”。 他回忆起自己感到恐慌； 他已经“深陷困境”。
但是迈尔斯博士，他已经完成了 类似的计算，很快发现了帽子和乌龟之间的深刻联系。 他发现，事实上，有一整套相关的爱因斯坦——一个连续的、不可数的无限形状，一个一个地变形到另一个。
史密斯先生对其他一些家庭成员印象不深。 “他们看起来有点像冒名顶替者或变种人，”他说。
但是这个爱因斯坦家族激发了第二个证明，它提供了一种证明非周期性的新工具。 迈尔斯博士在一封电子邮件中说，数学似乎“好得令人难以置信”。 “我没想到会有如此不同的方法来证明非周期性——但当我写下细节时，一切似乎都在一起了。”
Goodman-Strauss 博士将新技术视为发现的一个重要方面； 迄今为止，只有少数非周期性证明。 他承认这是“浓奶酪”，也许只适合铁杆鉴赏家。 他花了几天时间来处理。 “然后我就惊呆了，”他说。
史密斯先生惊讶地看到研究论文汇集在一起。 “老实说，我帮不了什么忙。” 他很欣赏这些插图，他说：“我更喜欢画画。”